Question

已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）为定值0.

解析:

（Ⅰ）设椭圆方程为(a＞b＞0).       

因为，得.又，则.

故椭圆的标准方程是.                           （5分）

（Ⅱ）由椭圆方程知，c＝1，所以焦点F(0，1)，设点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由，得(－x₁，1－y₁)＝λ(x₂，y₂－1)，所以－x₁＝λx₂，1－y₁＝λ(y₂－1). （7分）

于是.因为，，则y₁＝λ²y₂.

联立y₁＝λ²y₂和1－y₁＝λ(y₂－1)，得y₁＝λ，y₂＝.              （8分）

因为抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x．设过抛物线上的点A、B的切线分别为l₁，l₂，则

直线l₁的方程是y＝x₁(x－x₁)＋y₁，即y＝x₁x－x₁².      （9分）

直线l₂的方程是y＝x₂(x－x₂)＋y₂，即y＝x₂x－x₂²．         （10分）

联立l₁和l₂的方程解得交点M的坐标为.         （11分）

因为x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4. 所以点M．              （12分）

于是，(x₂－x₁，y₂－y₁).

所以＝＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0.

故为定值0.        （13分）