Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A₁B，AC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据三角形中位线定理可得EG平行BC，再由线面平行的判定定理，即可得到答案；
（2）证明BC⊥平面AA₁B₁B，利用EF∥BC，可得EF⊥平面AA₁B₁B，再利用平面与平面垂直的判定定理，即可得到答案．

解答： 证明：（1）连接A₁F，则A₁、F、C三点共线，
∵E、F分别是AC₁、BB₁的中点，
∴EF∥BC，
又EF?平面ABC，BC?平面AB₁C，
∴EF∥平面ABC；
（2）∵AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面AA₁B₁B，
∵EF∥BC，
∴EF⊥平面AA₁B₁B，
∵EF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面AA₁B₁B．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．