已知函数,,其中的函数图象在点处的切线平行于轴.
(1)确定与的关系; (2)若,试讨论函数的单调性;
(3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点()证明:.
(1);(2)当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增;当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增.(3)详见解析。
解析试题分析:(1)由导数的几何意义可知,即可得与的关系。(2)先求导数,及其零点,判断导数符号,即可得原函数增减变化,注意分类讨论。(3)由可得。然后分别证明不等式的左右两侧,两侧不等式的证明均需构造函数,再利用函数的单调性证明。
试题解析:解:(1)依题意得,则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得:
∴ 4分
(2)由(1)得
∵函数的定义域为
①当时,
由得,由得,
即函数在(0,1)上单调递增,在单调递减;
②当时,令得或,
若,即时,由得或,由得,
即函数在,上单调递增,在单调递减;
若,即时,由得或,由得,即函数在,上单调递增,在单调递减;
若,即时,在上恒有,即函数在上单调递增.
综上得:当时,函数在(0,1)上单调递增,在单调递减;
当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,
当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增.
9分
(3)依题意得
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=aln(2x+1)+bx+1.
(1)若函数y=f(x)在x=1处取得极值,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-3=0平行,求a的值;
(2)若b=,试讨论函数y=f(x)的单调性.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ax+ln x,g(x)=ex.
(1)当a≤0时,求f(x)的单调区间;
(2)若不等式g(x)< 有解,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex且f(0)=1,f(1)=0.
(1)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格).
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少?
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