Question

在平面直角坐标系XOY中，已知定点A（0，a），B（0，-a），M，N是x轴上两个不同的动点，

OM

•

ON

=4a2(a∈R，a≠0)，直线AM与直线BN交于C点．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）若存在过点（0，-1）且不与坐标轴垂直的直线l与点C的轨迹交于不同的两点E、F，且|AE|=|AF|，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出点的坐标：C（x，y），M（m，0），N（n，0），根据A、C、M三点共线得到式子

a

-m

=

y-a

x

，根据B、C、N三点共线得到

-a

-n

=

y+a

x

，两个式子的左右两边对应相乘得到

-a2

mn

=

y2-a2

x2

，结合

OM

•

ON

=4a2得到mn=4a²，代入前面式子，化简整理可得：

x2

4a2

+

y2

a2

=1，即为点C的轨迹方程；
（2）设过点（0，-1）的直线l方程是y=kx-1，与椭圆消去y得关于x的方程：（1+4k²）x²-8kx+4-4a²=0…（*）．再设直线l与交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据|AE|=|AF|得：x12+(y1-a)2=x22+(y2-a)2，将此式移项因式分解，结合经过两点的斜率公式，得：-k=

x1+x2

y1+y2-2a

，利用直线l的方程化简可得：

x1+x2

k(x1+x2)-2-2a

=-k．再将求出的一元二次方程利用根与系数的关系，得到x1+x2=

8k

1+4k2

，代入前式化简得到k2=

3-a

4a

，将此式代到方程（*）的根的判别式，建立不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）设点C（x，y），M（m，0），N（n，0），则

OM

•

ON

=mn=4a2（其中a∈R，a≠0）
∵A、C、M三点共线，B、C、N三点共线，
∴

a-0

0-m

=

y-a

x-0

且

-a-0

0-n

=

y+a

x-0

，
即

a

-m

=

y-a

x

…①，

-a

-n

=

y+a

x

…②
①、②的左右两边对应相乘，得

-a2

mn

=

y2-a2

x2

，
将mn=4a²代入，得

y2-a2

x2

=-

1

4

整理，得：

x2

4a2

+

y2

a2

=1，即为点C的轨迹方程；
（2）设过点（0，-1）的直线l方程是y=kx-1
由

y=kx-1 x2 4a2 + y2 a2 =1

消去y，得关于x的方程：（1+4k²）x²-8kx+4-4a²=0，
设直线l与交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由一元二次方程根与系数的关系，得

x1+x2= 8k 1+4k2 x1x2= 4-4a2 1+4k2

，
∵直线l点C的轨迹交于不同的两点
∴△=64k²-4（1+4k²）（4-4a²）＞0，得4a²k²+a²-1＞0…（1）
由|AE|=|AF|得：x12+(y1-a)2=x22+(y2-a)2，
移项，因式分解得：(x1 +x2)(x1-x2)=(y2-y1)(y1+y2-2a)
所以有：-k=

y2-y1

x1-x2

=

x1+x2

y1+y2-2a

∵y₁=kx₁-1，y₂=kx₂-1
∴

x1+x2

k(x1+x2)-2-2a

=-k，
将x1+x2=

8k

1+4k2

代入上式，化简得k2=

3-a

4a

…（2）
∵k²＞0，∴0＜a＜3，
把（2）代入（1）得：a（3-a）+a²-1＞0
化简，解此不等式得：a＞

1

3

，
∴

1

3

＜a＜3

点评：本题给出一个特殊的动点，通过求轨迹方程和字母参数的取值范围，着重考查了平面向量的数量积、求轨迹方程的一般步骤和一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，考查了设而不求的数学解题方法，属于难题．