Question

已知定义域为R的函数f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若对于任意t∈（2，3），不等式f（kt²-2t）+f（1-t）＜0恒成立，求k的范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义，建立等式，即可求a，b的值；
（2）求得函数的单调性，将不等式化为具体不等式，利用分离参数法，即可求k的范围．

解答：解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即

b-2-x

2-x+a

=-

b-2x

2x+a

∴

b•2x-1

1+a•2x

=-

b-2x

2x+a

解得a=1，b=1．                     …（4分）
（2）由（1）知，f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

∴f（x）为R上的减函数          …（7分）
∵对于任意t∈（2，3），不等式f（kt²-2t）+f（1-t）＜0恒成立，
∴f（kt²-2t）＜-f（1-t）=f（t-1）
∴kt²-2t＞t-1，∴k＞

3t-1

t2

对于任意t∈（2，3）恒成立，
∵

3t-1

t2

=-(

1

t

-

3

2

)2+

8

4

，

1

t

∈(

1

3

，

1

2

)
∴

3t-1

t2

∈（

8

9

，

5

4

）
∴k≥

5

4

…（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的单调性，利用分离参数法，属于中档题．