【题目】已知函数的定义域为
,设
,
.
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数在
上为单调函数;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在
,满足
,又若方程
在
上有唯一解,请确定t的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)求导得,从而可得
在
,
上递增,在
上递减,从而确定
的取值范围;
(Ⅱ)借助(Ⅰ)可知,在
处取得极小值
,求出
,则
在
,
上的最小值为
,从而得证;
(Ⅲ)化简,从而将
化为
,令
,则证明方程
在
上有解,并讨论解的个数;由二次函数的性质讨论即可.
(Ⅰ)因为,
令,得:
或
;令
,得:
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
要使在
为单调函数,则
所以的取值范围为
(Ⅱ)证:因为在
上单调递增,在
上单调递减,所以
在
处取得极小值
.
又,所以
在
的最小值为
,
从而当时,
,即
.
(Ⅲ)证:因为,所以
,即为
令,从而问题转化为证明方程
在
上有解,
并讨论解的个数,因为,
当或
时,
,所以
在
上有解,且只有一解.
②当时,
且
,但由于
,所以
在
上有解,且有两解
③当时,由
得:
或
,
在
上有且只有一解;
当时,由
得:
或
,所以
在
上也只有一解
综上所述,对任意的,总存在
当方程在
上有唯一解,
的取值范围为
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【题目】教材曾有介绍:圆上的点
处的切线方程为
。我们将其结论推广:椭圆
上的点
处的切线方程为
,在解本题时可以直接应用。已知,直线
与椭圆
有且只有一个公共点.
(1)求的值;
(2)设为坐标原点,过椭圆
上的两点
、
分别作该椭圆的两条切线
、
,且
与
交于点
。当
变化时,求
面积的最大值;
(3)在(2)的条件下,经过点作直线
与该椭圆
交于
、
两点,在线段
上存在点
,使
成立,试问:点
是否在直线
上,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点在椭圆
上,点
在直线
上,且
,求证:
为定值;
(3)设点在椭圆
上运动,
,且点
到直线
的距离为常数
,求动点
的轨迹方程.
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【题目】设甲乙两地相距100海里,船从甲地匀速驶到乙地,已知某船的最大船速是36海里/时:当船速不大于每小时30海里/时,船每小时使用的燃料费用和船速成正比;当船速不小于每小时30海里/时,船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比;当船速为30海里/时,它每小时使用的燃料费用为300元;其余费用(不论船速为多少)都是每小时480元;
(1)试把每小时使用的燃料费用P(元)表示成船速v(海里/时)的函数;
(2)试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数;
(3)当船速为每小时多少海里时,船从甲地到乙地所需要的总费用最少?
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【题目】某农场规划将果树种在正方形的场地内.为了保护果树不被风吹,决定在果树的周围种松树. 在下图里,你可以看到规划种植果树的列数(n),果树数量及松树数量的规律:
(1)按此规律,n = 5时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量,及松树数量
关于n的表达式
(2)定义:
为
增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:哪种树增加的速度会更快?并说明理由
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【题目】在平面直角坐标系中,动点
到定点
的距离与它到直线
的距离相等.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设动直线与曲线
相切于点
,与直线
相交于点
.
证明:以为直径的圆恒过
轴上某定点.
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【题目】定义:对于数列,如果存在常数
,使对任意正整数
,总有
成立,那么我们称数列
为“
﹣摆动数列”.
(1)设,
,
,判断数列
、
是否为“
﹣摆动数列”,并说明理由;
(2)已知“﹣摆动数列”
满足:
,
.求常数
的值;
(3)设,
,且数列
的前
项和为
.求证:数列
是“
﹣摆动数列”,并求出常数
的取值范围.
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【题目】如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上.
(1)求p的值及抛物线的准线方程 ;
(2)求证:直线OA与直线BC的倾斜角互补;
(3)当xA∈(1,2)时,求△ABC面积的最大值.
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