【题目】如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上.
(1)求p的值及抛物线的准线方程 ;
(2)求证:直线OA与直线BC的倾斜角互补;
(3)当xA∈(1,2)时,求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)p=2,准线方程为x=﹣1 ;(2)见解析;(3)最大值为2.
【解析】
(1)求得抛物线的焦点,由题意可得,可得抛物线方程和准线方程;
(2)设过的直线方程为
,
,
,
,
,
,
,联立直线方程和抛物线方程,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简可得证明,检验直线
的斜率不存在,也成立;
(3)求得的范围和
的坐标,运用点到直线的距离公式可得
到直线
的距离,由弦长公式可得
,由三角形的面积公式和导数的运用,判断单调性可得面积
的范围,检验直线
的斜率不存在时,可得
的面积,进而得到所求最大值.
解:(1)点为抛物线
的焦点,即
,即
,
抛物线的方程为,准线方程为
;
(2)证明:设过的直线方程为
,
,
,
,
,
,
,
即有,
,
,
联立直线和抛物线
可得
,
可得,
,
则,
由的重心
在
轴上,可得
,即
,
即有,
当直线的斜率不存在时,求得
,
,
的坐标,可得
.
则直线与直线
的倾斜角互补;
(3)由(2)可得,
,
可得,解得
,
由抛物线的定义可得,
由,即
,即
,
,
的坐标为
,
,
到直线
的距离为
,
可得的面积为
,
由,可得
,
设,则
,
由,则
在
递减,
可得;
当直线的斜率不存在时,设
,
,可得
,
的面积为
,
可得的面积的最大值为2.
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【题目】已知函数的定义域为
,设
,
.
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数在
上为单调函数;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在
,满足
,又若方程
在
上有唯一解,请确定t的取值范围.
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【题目】春节期间,受烟花爆竹集中燃放影响,我国多数城市空气中浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化
年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中
浓度监测的数据如表
单位:微克
立方米
.
除夕18时 | 初一2时 | |
北京 | 75 | 647 |
天津 | 66 | 400 |
石家庄 | 89 | 375 |
廊坊 | 102 | 399 |
太原 | 46 | 115 |
上海 | 16 | 17 |
南京 | 35 | 44 |
杭州 | 131 | 39 |
Ⅰ
求这8个城市除夕18时空气中
浓度的平均值;
Ⅱ
环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中
浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市,浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹
从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量y的分布列和数学期望;
Ⅲ
记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中
浓度的方差分别为
和
,比较
和
的大小关系
只需写出结果
.
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【题目】田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注.假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛,田忌获胜的概率如下表所示:
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
(1)如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
(2)如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
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【题目】已知椭圆的长轴是短轴的两倍,以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于
,直线l与椭圆C交于
两点,其中直线l不过原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线的斜率分别为
,其中
且
.记
的面积为S.分别以
为直径的圆的面积依次为
,求
的最小值.
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【题目】某校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,得到数据如下表:
喜欢统计课程 | 不喜欢统计课程 | ||
男生 | 20 | 5 | |
女生 | 10 | 20 | |
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选2人,求恰有1个男生和1个女生的概率.
临界值参考:
0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
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【题目】已知抛物线焦点为
,
为抛物线上在第一象限内一点,
为原点,
面积为
.
(1)求抛物线方程;
(2)过点作两条直线分别交抛物线于异于点
的两点
,
,且两直线斜率之和为
,
(i)若为常数,求证直线
过定点
;
(ii)当改变时,求(i)中距离
最近的点
的坐标.
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【题目】在直角坐标系中,已知圆
与直线
相切,点A为圆
上一动点,
轴于点N,且动点满足
,设动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设P,Q是曲线C上两动点,线段的中点为T,
,
的斜率分别为
,且
,求
的取值范围.
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