Question

【题目】已知椭圆的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线l与椭圆C交于两点，其中直线l不过原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线的斜率分别为，其中且.记的面积为S.分别以为直径的圆的面积依次为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意知，且，由此能求出椭圆方程．

（2）设直线的方程为，，，，，联立，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出的最小值．

解：（1）由题意知，，解得，

所以椭圆C的方程为

（2）设直线l的方程为，，，，，

由消去y整理得，根据题设有：

且，.

因为，所以

，

将，代入，化简得：

∵，∴.

此时且，解得.故

，

又

，为定值.

∴，

当且仅当即时等号成立.

综上：的最小值为