Question

【题目】已知点在上,以R为切点的D的切线的斜率为,过外一点A(不在x轴上)作的切线,点BC为切点,作平行于的切线(切点为D),点MN分别是与的交点(如图).

(1)用BC的纵坐标st表示直线的斜率;

(2)设三角形面积为S,若将由过外一点的两条切线及第三条切线(平行于两切线切点的连线)围成的三角形叫做“切线三角形”,如,再由MN作“切线三角形”,并依这样的方法不断作切线三角形…,试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及所围成的阴影部分的面积T.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)根据题意可知设出直线方程,由切线斜率的定义即可表示出直线的斜率;

(2)求得切线的斜率,可得D的坐标,求得直线的方程,运用中点坐标公式可得A关于D的对称点在直线上,求得D为的中点,根据为三角形的中位线,且E为的中点,D为的中点,求得三角形的面积,再由三角形的面积之比与对应边的比的关系,可得由抛物线外作出的“切线三角形”的面积构成以为首项,为公比的等比数列,运用无穷递缩等比数列的求和公式,可得所有面积和,即可得到所求面积T.

解:(1)设切线方程为,

，将B,C的纵坐标代入得

(2)设,则,

∴,(s,t为B,C的纵坐标),

由此可得

设利用切线方程得:

即,两式相减得:

,,,

由前面计算可知:平行于横轴,可得,

,将,代入,

由,

所以D为的中点;

设:,由上可知,

由M,N确定的切线三角形的面积为,

后一个切线三角形的面积是前一切线三角形面积的,

由此继续下去可得算式:

,

,

∴.