Question

过已知点(3，0)的直线l与圆x²＋y²＋x－6y＋3＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为原点)，求直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：若设点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则由OP⊥OQ，可得·＝－1．由P，Q分别在圆及直线上，可借助方程，利用根与系数的关系求解．

　　解：设点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，直线l的方程为x＋ay－3＝0．则点P，Q的坐标分别满足方程组

　　消去y，得(a²＋1)x²＋(a²＋6a－6)x＋3a²－18a＋9＝0．

　　所以x₁x₂＝　①

　　消去x，得(a²＋1)y²－(7a＋6)y＋15＝0．

　　所以y₁y₂＝．　②

　　因为OP⊥OQ，所以·＝－1，

　　即y₁y₂＋x₁x₂＝0．

　　将①②代入上式，解得a＝2，或a＝4．

　　所以直线l的方程为x＋2y－3＝0，或x＋4y－3＝0．

　　点评：本题巧用根与系数的关系，列出y₁y₂＋x₁x₂＝0，进而求方程得解．另外，将过点(3，0)的直线的方程设为x＋ay－3＝0可避免分类讨论．