Question

已知点B（0，1），点C（0，-3），直线PB、PC都是圆（x-1）²+y²=1的切线（P点不在y轴上）．以原点为顶点，且焦点在x轴上的抛物线C恰好过点P．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点（1，0）作直线l与抛物线C相交于M，N两点，问是否存在定点R，使

RM

•

RN

为常数？若存在，求出点R的坐标及常数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出直线的方程，根据圆心到直线的距离为半径1求得k，则PC的方程可得，与方程y=1联立求得点P的坐标，则抛物线的方程可得．
（2）设直线l的方程代入抛物线方程并整理，设出M，N的坐标，根据韦达定理求得y₁+y₂和y₁y₂的表达式，设R（x₀，y₀），
进而表示出

RM

•

RN

进而可推断出当x₀=y₀=0时上式是一个与m无关的常数．断定存在定点R（0，0），相应的常数是

2

3

．

解答：解：（1）设直线PC的方程为：y=kx-3，
由

|k-3|

k2+1

=1得k=

4

3

，所以PC的方程为y=

4

3

x-3.
由

y=1 y= 4 3 x-3

得P点的坐标为（3，1）．
可求得抛物线的方程为y2=

1

3

x．
（2）设直线l的方程为x=my+1，
代入抛物线方程并整理得y2-

1

3

my-

1

3

=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

1

3

m，y1y2=-

1

3

设R（x₀，y₀），
则

RM

•

RN

=(x1-x0，y1-y0)•(x2-x0，y2-y0)=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）
=（my₁+1-x₀）（my₂+1-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）
=m²y₁y₂+m（1-x₀）（y₁+y₂）+（1-x₀）²+y₁y₂-y₀（y₁+y₂）+y₀²
=

1

3

x0m2-

1

3

y0m+(1-x0)2+y02-

1

3

．
当x₀=y₀=0时上式是一个与m无关的常数．
所以存在定点R（0，0），相应的常数是

2

3

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合的思想．