Question

已知点B（0，1），A，C为椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．
（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．
（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？

Answer 1

分析：（I）依题意，可知椭圆的方程为：

x2

42

+y²=1，设C（4cosθ，sinθ），可求得直线l的方程为y=-

4cosθ

sinθ-1

x+

8cos2θ

sinθ-1

+

1+sinθ

2

，令y=0得x=

15cos2θ

8cosθ

=

15

8

cosθ（cosθ≠0），利用余弦cosθ的有界性即可求得线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围；
（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，设出AB的方程为y=kx+1（k＞0），BC的方程为y=-

1

k

x+1，利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形ABC中的两腰|AB|=|BC|，借助基本不等式即可求得a的取值范围；同理可求两条腰AB与BC关于y轴对称时a的取值范围．

解答：解：（I）∵a=4，
∴椭圆的方程为：

x2

42

+y²=1，故B（0，1），
设C（4cosθ，sinθ），
则BC的中点M（2cosθ，

1+sinθ

2

），
∵BC的斜率k_BC=

sinθ-1

4cosθ

，
∴线段BC的中垂线l的斜率k=-

1

kBC

=-

4cosθ

sinθ-1

，
∴直线l的方程为：y-

1+sinθ

2

=-

4cosθ

sinθ-1

（x-2cosθ），
∴y=-

4cosθ

sinθ-1

x+

8cos2θ

sinθ-1

+

1+sinθ

2

，
令y=0得：x=

15cos2θ

8cosθ

=

15

8

cosθ（cosθ≠0）
∵-1≤cosθ≤1且cosθ≠0，
∴-

15

8

≤x=

15

8

cosθ≤

15

8

且x≠0，
∴线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围为[-

15

8

，0）∪（0，

15

8

]．
（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，作图如右，
设此时过B（0，1）的AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-

1

k

x+1，
由

x2 a2 +y2=1 y=kx+1

得：（a²k²+1）x²+2a²kx=0，
设该方程两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

2a2k

a2k2+1

，x₁x₂=0，
则|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=|x₁-x₂|•

1+k2

=

1+k2

•

(x2+x1)2-4x1x2

=

1+k2

•|

2a2k

a2k2+1

|，
同理可求，|BC|=

1+ 1 k2

•|

2a2(- 1 k )

a2 k2 +1

|=

1+k2

|k|

•|

2a2k

a2+k2

|，
∵|AB|=|BC|，
∴

1+k2

•|

2a2k

a2k2+1

|=

1+k2

|k|

•|

2a2k

a2+k2

|，
约分后整理得：k³-a²k²+a²k-1=0，
即a²k（k-1）=（k-1）（k²+k+1），
当k=1时，AB的方程为y=x+1，BC的方程为y=-x+1，此时两直线关于y轴对称，与所设不符，故k≠1；
∴a²=

k2+k+1

k

=k+

1

k

+1≥3（当且仅当k=1时取等号），又k≠1，
∴a²＞3，
∴a＞

3

，即当a＞

3

时，如图的不关于y轴对称等腰直角三角形ABC存在，
又不关于y轴对称的还有另一个，关于y轴对称的必有一个，
因此，当a＞

3

时，以B为直角顶点的等腰三角ABC共三个．
当1＜a≤

3

时，以B为直角顶点的等腰三角ABC只有一个，此时两腰关于y轴对称．

点评：本题考查椭圆的性质，着重考查椭圆的参数方程的应用，考查直线的点斜式、截距的综合应用，突出考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查转化思想、方程思想、分类讨论思想的综合应用，考查逻辑思维、创新思维、综合运算能力，属于难题．