Question

8．已知命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为空集；命题乙：方程x²+$\sqrt{2}$ax-（a-4）=0有两个不相等的实根．
（1）若甲，乙都是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若甲，乙中有且只有一个是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题甲：$a＜-1，a＞\frac{1}{3}$；命题乙：a＜-4，a＞2；进而可得：（1）甲，乙都是真命题，（2）甲，乙中有且只有一个是假命题，的实数a的取值范围．

解答 解：命题甲：由不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为空集，
得△=（a-1）²-4a²＜0…（1分）
解得：$a＜-1，a＞\frac{1}{3}$…（1分）
命题乙：由方程${x^2}+\sqrt{2}ax-（a-4）=0$有两个不相等的实根得△=2a²+4（a-4）＞0，…（1分）
解得：a＜-4，a＞2；…（1分）
（1）甲，乙都是真命题的条件是a∈（-∞，-4）∪（2，+∞）…（2分）
（2）甲，乙中有且只有一个是假命题的条件是
$\left\{\begin{array}{l}a＜-1，或a＞\frac{1}{3}\\-4≤a≤2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＜-4，或a＞2\\-1≤a≤\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
故$a∈[{-4，-1}）∪（{\frac{1}{3}，2}]$…（4分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题的真假判断，二次不等式的解法，方程根的个数及其判断，难度中档．