精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(本题满分12分)
如图,四棱锥的侧面垂直于底面在棱上,的中点,二面角

(1)求的值;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(1)。(2)直线与平面所成角的正弦值为
本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面所成的角,其中方法一的关键是熟练掌握二面角及线面夹角的定义,方法二的关键是建立空间直角坐标系,将问题转化为向量夹角问题.
解法一(几何法):(Ⅰ)作ME∥CD交CD于E,由已知中,∠ADC=∠BCD=90°,PA=PD=AD=2BC=2,N是AD的中点,可得BN⊥AD,结合侧面PAD垂直于底面ABCD,及面面垂直和线面垂直的性质可得BN⊥NE,即∠DNE为二面角M-BN-C的平面角,由二面角M-BN-C为30°,可得∠DNE=30°,可求出DE= DP,进而得到所求的值。
(2)连接BE,由(Ⅰ)可知PE⊥平面BMN,即∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角.连接PN,则PN⊥平面ABCD,从而PN⊥BN,解△PBE可得直线PB与平面MBN所成的角。解法二(向量法):(Ⅰ)建立如图所示的坐标系N-xyz,设PM=λPC(λ>0),求出面MBN的法向量,及面BNC的法向量,由二面角M-BN-C为30°,求出λ值,即可得到值。
(2)由上可知(,0,3)为面MBN的法向量,设直线PB与平面MBN所成的角为θ,求出PB的方向向量
PB,代入线面夹角公式sinθ,可得直线PB与平面MBN所成的角.
(1)建立如图所示的坐标系,其中。设,则,于是……3分
 为面的法向量,则,又为面的法向量,由二面角,得
解得。……6分
(2)由(1)知,为面的法向量……8分
设直线与平面所成的角为,由

所以直线与平面所成角的正弦值为。……12分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,几何体中,四边形为菱形,,面∥面,都垂直于面,且的中点,的中点.

(1)求几何体的体积;
(2)求证:为等腰直角三角形;
(3)求二面角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,面是正三角形,
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值;
(Ⅲ)求异面直线所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在长方体中,,则异面直线所成的角为 (  )
A.B.C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在正方体中,的交点,则所成角的(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分12分)
(本题满分12分)
如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,
的中点。
(1)求异面直线所成角的余弦值;
(2)求直线BE和平面的所成角的正弦值。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知二面角的大小为为异面直线,且,则所成的角为(     )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

、空间四边形中,各边及对角线长都相等,若分别为的中点,那么异面直线所成的角等于(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是
DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的大小是(    )
A.600           B.300        C.450         D.900

查看答案和解析>>

同步练习册答案