Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且a₁=1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，证明：对一切正整数n，都有：．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵（n∈N^*），且a₁=1，
∴，，∴a₂=4，
，，∴a₃=12；
（Ⅱ）解：由①，
得，（n∈N^*，n≥2）②，
①-②得：，即，
检验知a₁=1，a₂=4满足．
∴．
变形可得．
∵，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴，
则；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，代入
得b_n=，
∵＞0，
∴（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹
又∵2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2，
∴2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹，
则
∴
∴
∴
即
∴
∴．
分析：（Ⅰ）在给出的递推式中，分别取n=1，2，把a₁=1代入即可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ）根据给出的递推式，取n=n-1可得另一递推式，两式作差后可得，把此等式两边同时除以2ⁿ，得到新数列是以1为首项，1为公差的等差数列，写出其通项公式，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的a_n代入，整理后得b_n=，把该式放大缩小后利用等比数列的求和公式可证明．
点评：本题考查了由递推式确定等比关系，考查了等比数列的前n项和公式，考查了利用放缩法证明不等式，解答此题的关键是不等式的证明，对数列{b_n}通项的放缩体现了学生观察问题和分析问题的能力，此题是有一定难度题目．