Question

4．△ABC的三边长分别为|AC|=3，|BC|=4，|AB|=5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|²+||PB|²+|PC|²的最小值与最大值．

Answer 1

分析 以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为（x-1）²+（y-1）²=1，设P坐标为（x，y），化简要求的式子为22-2y，根据0≤y≤2，求得要求式子的值．

解答 解：如图以C为原点，CA所在边为x轴建立直角坐标系，
则A（3，0），B（0，4），C（0，0）．
由直角△ABC，可得内切圆的半径r=$\frac{1}{2}$（3+4-5）=1，
得内切圆方程为（x-1）²+（y-1）²=1，即为x²+y²=2x+2y-1，
设P坐标为（x，y），
则|PA|²+|PB|²+|PC|²=（x-3）²+y²+x²+（y-4）²+x²+y²
=3x²+3y²-6x-8y+25=22-2y，
因为0≤y≤2，
所以22-2y∈[18，22]．
即有P为（1，2）时，取得最小值18；
P为（1，0）时，取得最大值22．

点评 本题考查坐标法求最值的方法，考查直角三角形的内切圆的方程，以及平面上两点的距离公式的运用，属于中档题．