Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若函数y=2[f（x）]²+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是m＜-1．

Answer 1

分析 先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值．

解答 解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t²+3mt+1．
做出函数f（x）的图象如图，

图象可知
当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点．
当t=0时，函数t=f（x）有三个零点．
当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点．
当t=1时，函数t=f（x）有三个零点．
当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．
要使关于x的函数y=2f²（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，则函数y=2t²+3mt+1有两个根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，t₂＞1或t₁=0，t₂=1，
令g（t）=2t²+3mt+1，则由根的分布可得，
将t=1，代入得：m=-1，
此时g（t）=2t²-3t+1的另一个根为t=$\frac{1}{2}$，不满足t₁=0，t₂=1，
若0＜t₁＜1，t₂＞1，则$\left\{\begin{array}{l}△={9m}^{2}-8＞0\\ g（1）=3m+3＜0\\ m＜0\end{array}\right.$，
解得：m＜-1，
故答案为：m＜-1

点评 本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．