Question

11．已知其函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{{x}^{2}+mx（x＜0）}\end{array}\right.$
（1）求实数m的值，并画出y=f（x）的图象
（2）若函数f（x）的图象向右平移1，得到函数y=g（x）的图象，而且函数y=g（x）在区间[0，|a|-2]上单凋递增，试求出函数y=g（x）的解析式并确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质求出m的值；
（2）根据图象的平移得到函数g（x）的解析式，借助于二次函数的图象，分析得到区间右端点的范围，解绝对值得不等式得到a的取值范围

解答 解：（1）函数f（x）为奇函数，故f（-x）=f（x），
设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²-2x=-x²-2x=-f（x），
∴f（x）=x²+2x=x²+mx，
∴m=2，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
其图象如右图所示：
（2）函数f（x）的图象向右平移1，得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=f（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x＞1}\\{{x}^{2}-1，x≤1}\end{array}\right.$画出函数g（x）的图象，如下图，


由图象可知，g（x）在[-1，2]上单调递增，要使f（x）在区间[0，|a|-2]上单调递增，
则只需：0＜|a|-2≤2，解得-4≤a＜0，或0＜a≤4，
∴a的取值范围是：[-4，0）∪（0，4]．

点评 本题考查了二次函数的图象，考查了二次函数的性质，数形结合有助于我们的解题，形象直观，此题是中档题．