Question

1．已知定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=log₂（x+a）
①求a的值以及g（x）在[-3，-1]上的解析式
②对于①中的g（x），若关于x的不等式g（$\frac{t-{2}^{x}}{8+{2}^{x+3}}$）≥1-log₂3在R上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 ①利用奇偶性得出a=1，g（x+2）=-g（x），转化得出当0≤x≤1时，g（x）=log₂（x+1），当-1≤x≤0时，当-3≤x≤-2，当-2≤x≤-1求解即可．
②问题转化为t≤13•2^x+12在[-2，-1]恒成立，且t≤-$\frac{37}{3}$•2^x-$\frac{40}{3}$在[-3，-2]恒成立，求出t的范围取交集即可．

解答 解：①∵g（x+2）=-g（x），
∴g（x+4）=g（x），周期为：4，
∵定义在R上的奇函数g（x），
∴g（0）=0，即a=1，
∴当0≤x≤1时，g（x）=log₂（x+1），
∵当-2≤x≤-1，则0≤x+2≤1，g（x+2）=log₂（x+3）
∴当-2≤x≤-1，g（x）=-log₂（x+3）；
∵当-1≤x≤0，则0≤-x≤1，g（-x）=log₂（-x+1），
∴当-1≤x≤0，g（x）=-log₂（-x+1），
∵当-3≤x≤-2，则-1≤x+2≤0，g（x+2）=-log₂[-（x+2）+1]，
∴当-3≤x≤-2，g（x）=log₂（-x-1）；
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-log}_{2}^{（x+3）}，-2≤x≤-1}\\{{log}_{2}^{（-x-1）}，-3≤x≤-2}\end{array}\right.$；
②-2≤x≤-1时：g（x）=-${log}_{2}^{（x+3）}$，
∴g（$\frac{t-{2}^{x}}{8+{2}^{x+3}}$）=-${log}_{2}^{（\frac{t{-2}^{x}}{8{+2}^{x+3}}+3）}$≥1-log₂3在R上恒成立，
转化为$\frac{t{-2}^{x}}{8{（2}^{x}+1）}$≤$\frac{3}{2}$恒成立，即t≤13•2^x+12在[-2，-1]恒成立，
而13•2^x+12的最小值是$\frac{61}{4}$，
∴t≤$\frac{61}{4}$；
-3≤x≤-2时：g（x）=log₂（-x-1）；
∴g（$\frac{t-{2}^{x}}{8+{2}^{x+3}}$）=${log}_{2}^{[\frac{{2}^{x}-t}{8{（2}^{x}+1）}-1]}$≥1-log₂3在R上恒成立，
转化为$\frac{{2}^{x}-t}{8{（2}^{x}+1）}$≥$\frac{5}{3}$在[-3，-2]恒成立，即t≤-$\frac{37}{3}$•2^x-$\frac{40}{3}$在[-3，-2]恒成立，
而-$\frac{37}{3}$•2^x-$\frac{40}{3}$的最小值是-$\frac{197}{12}$，
∴t≤-$\frac{197}{12}$，
综上：t≤-$\frac{197}{12}$．

点评 本题考查了对数函数的性质，分类讨论的思想，函数恒成立问题，考查了计算化简能力，属于中档题．