Question

13．直线ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A，B两点，若△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为$\sqrt{2}$，最大值3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据，△AOB是等腰直角三角形，可得点O到直线ax+by=1的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得点P（a，b）在以原点为圆心、半径等于$\sqrt{2}$的圆上，再根据点（2，2）与点（0，0）之间距离为2$\sqrt{2}$，从而得出结论．

解答 解：由题意可得，△AOB是等腰直角三角形，故点O到直线ax+by=1的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即 $\frac{|0+0-1|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a²+b²=2，即点P（a，b）与点（0，0）之间距离为$\sqrt{2}$，
即点P（a，b）在以原点为圆心、半径等于$\sqrt{2}$的圆上．
而点（2，2）与点（0，0）之间距离为2$\sqrt{2}$，
故点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为 2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$；点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最大值为 2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$；3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，属于基础题．