Question

3． 已知函数f（x）=ax（x-c）²在点x=x₀处取得极大值32，其导函数y=f′（x）的图象经过点（2，0）、（6，0），如图．
（1）求x₀的值；
（2）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，y=f′（x）的图象经过点（2，0）、（6，0），求出c的值即可求x₀的值；
（2）根据函数的极值，建立方程关系求出a，即可求函数f（x）的解析式．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=a（x-c）²+2ax（x-c）=3a（x-c）（x-$\frac{c}{3}$），
∵y=f′（x）的图象经过点（2，0）、（6，0），
∴2，6是方程f′（x）=0的两个根，且a＞0，
则c=6，
则f′（x）=3a（x-6）（x-2），f（x）=ax（x-6）²，
由f′（x）＞0得x＞6或x＜2，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得2＜x＜6，此时函数单调递减，
则当x=2时，函数取得极大值，此时x₀=2．
（2）由（1）知当x=2时，函数取得极大值，极大值为32，
即f（2）=2a×16=32，解得a=1，
∴f（x）=x（x-6）²．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，求函数的导数，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．