Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{x+1}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证：函数f（x）在定义域上是增加的；
（3）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由偶次根式非负，可得函数的定义域；
（2）运用单调性的定义，设自变量、作差，变形（运用分子有理化），定符号和下结论；
（3）由单调性，即可得到最小值．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\sqrt{x+1}$可得
x+1≥0，解得x≥-1，
则定义域为[-1，+∞）；
（2）证明：设-1≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{1+{x}_{1}}$-$\sqrt{1+{x}_{2}}$
=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{1+{x}_{1}}+\sqrt{1+{x}_{2}}}$，
由-1≤x₁＜x₂，
可得x₁-x₂＜0，$\sqrt{1+{x}_{1}}$+$\sqrt{1+{x}_{2}}$＞0，
即有f（x₁）-f（x₂）＜0，
即为f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[-1，+∞）递增；
（3）由x≥-1，可得$\sqrt{1+x}$≥0，
即有x=-1时，函数取得最小值，且为0．

点评 本题考查函数的定义域的求法和单调性的证明及应用：求最值，考查运算能力，属于基础题．