Question

【题目】将正整数1，2，…，10填于正五角星的十个顶点处，使得每条直线上所填四个数之和相等，问：这种填数方案是否存在?若存在，请给出填数方案的个数（经过旋转或对称之后能重合的方案视为同一种方案）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

若存在满足要求的填数方案，则每条直线上的四个数之和为．

如图，令五角星外顶点所填数分别为，，…，，

对应的内顶点所填数分别为，，…，．

则（）此处下角标取模5非负剩余．

若是一种填数方案，作互补变换，则也是一种不同的填数方案．

注意到，10必须与1、2均共线，9必须与1共线．

否则，10所在的两条直线上的数之和，矛盾．

若1填在内顶点处，不妨设，再由对称性，不妨设．

由，，，

知，，且．

经验证，当时，方案不存在．

若1填在外顶点处，不妨设．

若10填在内顶点处，则作上述互补变换，便得到一个有1填在内顶点处的方案．

于是，10也填在外顶点处．

又，于是或．

不妨假设，，经验证，此时的填数方案也不存在．

综上，不存在满足要求的填数方案．