【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)若函数在
上无零点,求
最小值.
【答案】(1) 的单调减区为
,单调增区间为
,(2)
的最小值为
.
【解析】试题解析: (I)代入a的值,写出函数的解析式,对函数求导,使得导函数大于0,求出自变量的值,写出单调区间.
(II)根据函数无零点,得到函数的导函数小于0在一个区间上不恒成立,得到函数在这个区间上没有零点,构造新函数,对函数求导,利用求最值得方法求出函数的最小值.
(1)当时,
,
则,由
,得
,由
,得
,
故的单调减区为
,单调增区间为
.
(2)因为在区间
上恒成立不可能,
故要使函数在
上无零点,只要对任意的
,
恒成立,即对
恒成立,令
,则
,再令
,则
,故
在
上为减函数,于是
,从而
,于是
在
上为增函数,所以
,故要使
恒成立,只要
,综上,若函数
在
上无零点,则
的最小值为
.
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【题目】【题目】已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
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【题目】已知函数f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)<|m﹣1|的解集非空,求实数m的取值范围.
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【题目】某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当
中
的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受
影响,恒为
分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当取何值时,公交群体的人均通勤时间等于自驾群体的人均通勤时间?
(2)已知上班族的人均通勤时间计算公式为
,讨论
单调性,并说明其实际意义.
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【题目】将正整数1,2,…,10填于正五角星的十个顶点处,使得每条直线上所填四个数之和相等,问:这种填数方案是否存在?若存在,请给出填数方案的个数(经过旋转或对称之后能重合的方案视为同一种方案);若不存在,请说明理由.
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【题目】已知集合是满足下列性质的函数
的全体:在定义域内存在实数
,使得
.
(1)判断函数(
为常数)是否属于集合
;
(2)若属于集合
,求实数
的取值范围;
(3)若,求证:对任意实数
,都有
属于集合
.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费
和年销售量
(
)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1.469 | 108.8 |
表中,
(1)根据散点图判断,与
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?给出判断即可,不必说明理由
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据(2)的结果回答下列问题:
①年宣传费时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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