Question

10．已知两点M（-5，0）、N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“和谐直线”，给出下列直线：①y=x-1；②y=-$\frac{2}{3}$x；③y=$\frac{5}{3}$x；④y=2x+1．其中为“和谐直线”的是①②．（填全部正确答案的序号）

Answer 1

分析 根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有①②的直线上存在点P满足“和谐直线”的条件，由此可得答案．

解答 解：∵点M（-5，0），N（5，0），点P使|PM|-|PN|=6，
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
∵双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x
∴直线y=$\frac{5}{3}$x与双曲线没有公共点，直线y=2x+1经过点（0，1）斜率k＞$\frac{4}{3}$，与双曲线也没有公共点．
而直线①y=x-1、②y=-$\frac{2}{3}$x都与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有交点
因此，在①y=x-1、②y=-$\frac{2}{3}$x上存在点P使|PM|-|PN|=6，满足“和谐直线”的条件．
只有①②正确．
故答案是：①②．

点评 本题给出“和谐直线”的定义，判断几条直线是否为“和谐直线”，着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识，属于基础题．