Question

1．公差d＞0的等差数列{a_n}中，a₁=2，a₁、a₂、a₄成等比数列；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足a_n=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），计算即得结论；
（2）通过a_n=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$与a_n-1=$\frac{{b}_{1}}{{2}^{1}+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$作差，结合a_n=2n、计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁、a₂、a₄成等比数列，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
整理得：d=a₁=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n；
（2）∵a_n=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$…①，
∴a_n-1=$\frac{{b}_{1}}{{2}^{1}+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$…②．
①-②得：a_n-a_n-1=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$（n≥2），
又∵a_n=2n，
∴b_n=2（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹+2（n≥2），
当n=1时，b₁=6适合上式，
∴b_n=2（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．