Question

4．函数f（x）=$\frac{sinx}{{\sqrt{5+4cosx}}}$．（0≤x≤2π）的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 先将函数两边平方，转化为关于cosx的函数，再利用换元法令cosx=t，将函数f（x）的平方转化为关于t的函数，并设其为g（t），利用导数求函数g（t）的值域，进而求得函数f（x）的值域．

解答 解：令cosx=t，则t∈[-1，1]，
∵f²（x）=$\frac{si{n}^{2}x}{5+4cosx}$=$\frac{1-co{s}^{2}x}{5+4cosx}$=$\frac{1-{t}^{2}}{5+4t}$，
设g（t）=$\frac{1-{t}^{2}}{5+4t}$，t∈[-1，1]，
则g′（t）=$\frac{-2t（5+4t）-4（1-{t}^{2}）}{（5+4t）^{2}}$=$\frac{-2（t+2）（2t+1）}{（5-4t）^{2}}$，
由g′（t）＜0，得-$\frac{1}{2}$＜t≤1，由g′（t）＞0，得-1≤t＜-$\frac{1}{2}$，
即函数g（t）在[-1，-$\frac{1}{2}$]上为增函数，在[-$\frac{1}{2}$，1]上为减函数．
且g（-1）=0，g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，g（1）=0，
∴0≤g（t）≤$\frac{1}{4}$，即0≤f²（x）≤$\frac{1}{4}$，
∴f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了利用换元法求三角函数最值的方法，同角三角函数基本关系式的运用，转化化归的思想方法，导数的应用．