Question

12．在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=3a_n+λn-1，n∈N^*，λ为常数．
（1）若数列{a_n+n}是等比数列，求实数λ的值；
（2）在（1）的条件下，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2且a_n+1=3a_n+λn-1，求出a₂，a₂，通过数列{a_n+n}是等比数列，求出λ．
（2）求出${a_n}={3^n}-n$，然后利用拆项法集合等差数列以及等比数列求和即可．

解答 解：（1）由a₁=2且a_n+1=3a_n+λn-1，
得a₂=3a₁+λ-1=5+λ，
a₃=3a₂+2λ-1=5λ+14
∵数列{a_n+n}是等比数列，
∴${（{a_2}+2）^2}=（{a_1}+1）（{a_3}+3）$
∴（λ+7）²=3（5λ+17），
整理得λ²-λ-2=0，解得λ=2或λ=-1
当λ=2时，由a_n+1=3a_n+2n-，
1得a_n+1+n+1=3（a_n+n）
∴$\frac{{{a_{n+1}}+n+1}}{{{a_n}+n}}=3$，又a₁+1=3，
∴数列{a_n+n}是首项为3，且公比为3的等比数列．
（2）由（1）可知${a_n}+n=3×{3^{n-1}}={3^n}$，∴${a_n}={3^n}-n$，
∴数列{a_n}的前n项和${S_n}=（{3^{\;}}+{3^2}+…+{3^n}）-（1+2+…+n）=\frac{{3（{3^n}-1）}}{2}-\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{3（{3^n}-1）-n（n+1）}}{2}$．

点评 本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，等比数列的判断，以及数列求和的应用，考查计算能力．