Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁₀=19，S₅=25．
（1）求数列{a_n}的通项公式；     
（2）若b_n=${2^{{a_n}+1}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁₀=19，S₅=25．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=19}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=25}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=${2^{{a_n}+1}}$=2²ⁿ=4ⁿ，
∴数列{b_n}是等比数列，其首项为4，公比为4．
∴前n项和为T_n=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{{4}^{n+1}-4}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．