Question

10．已知$\overrightarrow a=（2cosx，sinx），\overrightarrow b=（sin（x+\frac{π}{3}），cosx-\sqrt{3}sinx），f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用三角函数的周期性及其求法即可解得函数f（x）的最小正周期．
（2）由正弦函数的性质可得sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，从而可求2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，2]．
（3）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）+sinx（cosx-$\sqrt{3}sinx$）
=2cosx（$\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx$）+sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，2]．
（3）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]，（k∈Z）．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．