Question

5．若${（{x^2}-\frac{1}{ax}）^9}$的展开式中x⁹的系数为$-\frac{21}{2}$，则函数f（x）=sinx与直线x=a，x=-a及x轴围成的封闭图形的面积为（　　）

• A． 2-2cos2
• B． 4-2cos1
• C． 0
• D． 2+2cos2

Answer 1

分析 首先利用${（{x^2}-\frac{1}{ax}）^9}$的展开式中x³的系数为$-\frac{21}{2}$，求出a，然后由定积分求面积．

解答 解：因为${（{x^2}-\frac{1}{ax}）^9}$的展开式中x⁹的系数为$-\frac{21}{2}$，展开式的通项为${C}_{9}^{r}（{x}^{2}）^{9-r}（-\frac{1}{ax}）^{r}$=${C}_{9}^{r}{（-\frac{1}{a}）^{r}x}^{18-3r}$，令18-3r=9得到r=3，所以${C}_{9}^{3}（-\frac{1}{{a}^{\;}}）^{3}=-\frac{21}{2}$，解得a=2，
所以函数f（x）=sinx与直线x=2，x=-2及x轴围成的封闭图形如图

面积为：${2∫}_{0}^{2}sinxdx$=2（-cosx）|${\;}_{0}^{2}$=2-2cos2；
故选A．

点评 本题考查了二项展开式的特征项系数、定积分求封闭图形的面积；关键是求出a、利用定积分表示面积．