Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=

2

，BC=2，∠BAC=45°，D是AC₁的中点，E是侧棱BB₁上的一个动点．
（1）当E是BB₁的中点时，证明：DE∥平面A₁B₁C₁；
（2）在棱BB₁上是否存在点E满足

BE

=λ

EB1

，使二面角E-AC₁-C是直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）取A₁C₁中点F，连接DF，DE，B₁F，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得DE∥平面A₁B₁C₁；
（2）建立直角坐标系，求出平面A₁ACC₁的法向量、平面AC₁E的法向量，利用数量积为0建立方程，即可求得结论．

解答：（1）证明：取A₁C₁中点F，连接DF，DE，B₁F
∵D是AC₁的中点，E是BB₁的中点．
∴DF∥AA₁，B₁E∥AA₁，DF=

1

2

AA₁，B₁E=

1

2

AA₁，
∴DF∥B₁E，DF=B₁E，所以DE∥B₁F，DE=B₁F…（2分）
又B₁F?平面A₁B₁C₁，所以DE∥平面A₁B₁C₁…（4分）
（2）解：分别在两底面内作BO⊥AC于O，B₁O₁⊥A₁C₁于O₁，连接OO₁，则OO₁∥AA₁，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴建立直角坐标系，
设AA₁=t，BE=h，则λ=

h

t-h

，A（0，-1，0），C₁（0，

3

，t），E（（1，0，h）．
平面A₁ACC₁的法向量为

n1

=（1，0，0）…（7分）
设平面AC₁E的法向量为

n2

=（x，y，z）
∵

AE

=（1，1，h），

AC1

=（0，

3

+1，h）
∴由

n2 • AE =0 n2 • AC1 =0

可得

x+y+hz=0 ( 3 +1)t+tz=0

…（9分）
取z=1得y=-

t

3 +1

，x=

t

3 +1

-h
∴

n2

=(

t

3 +1

-h，-

t

3 +1

，1)…（11分）
由题知

n1

•

n2

=0，∴

t

3 +1

-h=0
∴h=

t

3 +1

，∴λ=

h

t-h

=

3

3

所以在BB₁上存在点E，当

BE

=

3

3

EB1

时，二面角E-AC₁-C是直二面角．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，属于中档题．