Question

10．在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=6cosC，则$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=4．

Answer 1

分析 化简已知条件可得a²+b²=$\frac{3}{2}$c²．再利用正弦定理、余弦定理化简要求的式子为 $\frac{{c}^{2}}{ab•cosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab}$•$\frac{2ab}{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}$，从而求得结果．

解答 解：锐角三角形ABC中，∵$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=6cosC，则由余弦定理可得 $\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{ab}$=6•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，
化简可得a²+b²=$\frac{3}{2}$c²．
又 $\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{sinCcosA}{cosCsinA}$+$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$=$\frac{sinC}{cosC}$•（$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$）=$\frac{sinC}{cosC}•$ $\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinA•sinB}$=$\frac{{sin}^{2}C}{sinAsinBcosC}$ 
=$\frac{{c}^{2}}{ab•cosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab}$•$\frac{2ab}{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}$=$\frac{{2c}^{2}}{{\frac{3}{2}c}^{2}{-c}^{2}}$=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查了三角形的 正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属于基本公式的综合应用，属于中档题．