Question

1．对于每个自然数．抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，|A_nB_n|表示这两点间的距离，那么|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|的值（　　）

• A． $\frac{2007}{2008}$
• B． $\frac{2008}{2009}$
• C． $\frac{2007}{2009}$
• D． $\frac{2008}{2007}$

Answer 1

分析 通过整理可知方程y=0的两根分别为：$\frac{1}{n}$、$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1
=n（n+1）x²-[n+（n+1）]x+1
=（nx-1）[（n+1）x-1]，
∴方程y=0的两根分别为：$\frac{1}{n}$、$\frac{1}{n+1}$，
∴|A_nB_n|=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2008}$-$\frac{1}{2009}$
=1-$\frac{1}{2009}$
=$\frac{2008}{2009}$，
故选：B．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．