Question

20．已知圆C与直线l：x+2y-11=0相切，圆心C在直线x-y=0上，且x轴被圆C所截得的弦长为2，求圆C的方程．

Answer 1

分析 设圆心（t，t），由题意可得r=$\frac{|t+2t-11|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|3t-11|}{\sqrt{5}}$，求出圆心到直线的距离d，利用x轴被圆C所截得的弦长为2，可得r=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程．

解答 解：设圆心（t，t），则由圆C与直线l：x+2y-11=0相切，可得r=$\frac{|t+2t-11|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|3t-11|}{\sqrt{5}}$．
∵x轴被圆C所截得的弦长为2，
∴r=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
∴$\frac{|3t-11|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
∴t=2或$\frac{29}{2}$．
故圆C的方程为 （x-2）²+（y-2）²=5或（x-$\frac{29}{2}$）²+（y-$\frac{29}{2}$）²=$\frac{845}{4}$．

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题．