Question

15．下列命题中，正确命题的序号是③．
①函数f（x）=x³+3x²+3x关于点（1，1）对称；
②定义在R上的奇函数$f（x）=\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}+b}}$中一定有f（x+1）＞f（x）；
③函数$y=sin（\frac{πx}{2}+\frac{π}{3}）$满足f（x+2）=-f（x）；
④△ABC中，A＞90°，则存在sinB＞cosC．

Answer 1

分析 ①在y=f（x）的图象上任取点（x₀，y₀），其关于（1，1）的对称点为（x，y）；证明（x，y）不在y=f（x）的图象上即可．
②利用奇函数的定义即可证明错误；
③利用诱导公式即可证明正确；
④利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式可得cosAsinC＞cosC（1-sinA）．由已知可得A＞90°可得cosA＜0，sinC＞0，cosC＞0，1-sinA＞0，从而证明结论错误．

解答 解：①在y=f（x）的图象上任取点（x₀，y₀），其关于（1，1）的对称点为（x，y）；
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+{x}_{0}}{2}=1}\\{\frac{y+{y}_{0}}{2}=1}\end{array}\right.$，即x₀=2-x，y₀=2-y；
则2-y=（2-x）³+3（2-x）²+3（2-x），
整理可得，y=x³-9x²+27x-24，
∴y=f（x）的图象关于（1，1）对称的曲线方程不为y=f（x），
即函数f（x）图象的不关于点（1，1）对称，故错误；
②∵定义在R上的奇函数$f（x）=\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}+b}}$，
∴f（0）=$\frac{{e}^{0}+a}{{e}^{0}+b}$=$\frac{1+a}{1+b}$=0，解得：a=-1，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+b}$=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+b}$=f（x），解得：$\frac{1-{e}^{x}}{1+b{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+b}$，整理可得：e^x=±1，故错误；
③由f（x+2）=sin[$\frac{π（x+2）}{2}+\frac{π}{3}$]=sin（$\frac{πx}{2}$+π+$\frac{π}{3}$）=-sin（$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$）=-f（x），故正确；
④若sinB＞cosC成立，
∴sin（π-A-C）＞cosC，
∴sin（A+C）＞cosC，即sinAcosC+cosAsinC＞cosC，整理可得：cosAsinC＞cosC（1-sinA）．
∵A＞90°，∴cosA＜0，sinC＞0，cosC＞0，1-sinA＞0，
∴cosAsinC＜cosC（1-sinA）．矛盾，故错误．
故答案为：③．

点评 本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，奇函数的性质及应用，综合性较强，属于中档题．