Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+5（a＞0）
（1）当函数f（x）有两个零点时，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，当x∈[-4，4]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意得f′（x）=3（x-

a

3

）（x+a）（a＞0），所以函数f（x）的增区间为（-∞，-a），（

a

3

，+∞），减区间为（-a，

a

3

），所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（-a）=0或f（

a

3

）=0，因为a＞0所以a=3．
（2）由题知-a∈[-6，-3]，

a

3

∈[1，2]，当4≤a≤6时，因为函数f（x）在[-4，

a

3

）上单调递减，在（

a

3

，4]上单调递增，所以f（-4）-f（4）=8（a²-16）≥0，所以f（x）_max=f（-4）=4a2+16a-59，同理得当3≤a＜4时，f（x）_max=f（4）=-4a²+16a+69；

解答：解：（1）由题意得f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a）（a＞0），
由f′（x）＞0得x＜-a，或x＞

a

3

，由f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，-a），（

a

3

，+∞），减区间为（-a，

a

3

），
即当x=-a时，函数取极大值f（-a）=a³+5，
当x=

a

3

时，函数取极小值f（

a

3

）=-

5

27

a3+5，
又f（-2a）=-2a³+5＜f（

a

3

），f（2a）=10a³+5＞f（-a），
所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（-a）=0或f（

a

3

）=0，
注意到a＞0，所以f（

a

3

）=-

5

27

a3+5=0，即a=3．
故a的值是3．
（2）由题知-a∈[-6，-3]，

a

3

∈[1，2]，
当-a≤-4即4≤a≤6时，
函数f（x）在[-4，

a

3

）上单调递减，在（

a

3

，4]上单调递增，
注意到f（-4）-f（4）=8（a²-16）≥0，
所以f（x）_max=f（-4）=4a2+16a-59；
当-a＞-4即3≤a＜4时，
函数f（x）在[-4，-a）上单调增，在（-a，

a

3

）上单调减，在（

a

3

，4]上单调增，
注意到f（-a）-f（4）=a³+4a²-16a-64=（a+4）²（a-4），
所以f（x）_max=f（4）=-4a²+16a+69；
综上，f（x）_max=

4a2+16a-59 ，4≤a≤6 -4a2+16a+69，3≤a＜4

．

点评：本题考查利用导数解决极值问题通过极值求出参数，利用参数的范围与定义域的关系讨论函数的单调性，进而得到函数的最大值．本题利用了分类讨论的思想这是数学上的一个很主要的数学思想．