Question

设函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若x=1时，函数f（x）取得极值，求函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间(

1

2

，1)内不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，令导函数在x=1处的值为0，求出f（x）的 解析式，将x=-1代入f（x）求出切点坐标，将x=-1代入导函数求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（2）函数不单调，即函数在区间(

1

2

，1)有极值，即导函数在区间上有解，令导函数为0，分离出a，求出a的范围．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1由f'（1）=0得a=-2
∴f（x）=x³-2x²+x+1
当x=-1时，y=-3即切点（-1，-3）
k=f'（x₀）=3x₀²-4x₀+1令x₀=-1得k=8
∴切线方程为8x-y+5=0
（2f（x）在区间(

1

2

，1)内不单调即f′（x）=0在(

1

2

，1)有解
∴3x²+2ax+1=0在(

1

2

，1)有解
∴2a=-3x-

1

x

令h（x）=-3x-

1

x

∴令h′(x)=-3+

1

x2

＜0解得

3

3

＜x＜1
令h′(x)=-3+

1

x2

＞0解得

1

2

＜x＜

3

3

知h（x）在(

3

3

，1)单调递减，在(

1

2

，

3

3

)单调递增
∴h(1)＜h(x)≤h(

3

3

)
即h（x）∈[-4，-2

3

]
∴-4＜2a≤-2

3

即-2＜a≤-

3

而当a=-

3

时，f′(x)=3x2-2

3

x+1=(

3

x-1)2≥0
∴舍去
综上a∈(-2，-

3

)

点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0；导函数在切点处的值为切线的斜率；考查解决方程有解问题常分离参数转化为求函数的值域．