Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx+sin²x+2（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设锐角△ABC的三边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，且a=1，f（A）=3，向量

s

=（1，sinB）与向量

t

=（

3

，sinC）共线，求边b、c的大小．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据辅助角公式，得f（x）=sin（2x-

π

6

）+

5

2

，然后，结合正弦函数的单调性求解其单调递减区间；
（2）根据f（A）=3，得到A=

π

6

，然后，依据向量共线的条件并结合正弦定理，得到c=

3

b，最后，利用余弦定理求解即可．

解答： 解：f（x）=

3

sinxcosx+sin²x+2
=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

+2
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

5

2

=sin（2x-

π

6

）+

5

2

，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

5

2

，
（1）令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]，（k∈Z）；
（2）f（A）=3，
∴sin（2A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜

π

2

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴2A-

π

6

=

π

6

，
∴A=

π

6

，
∵向量

s

=（1，sinB）与向量

t

=（

3

，sinC）共线，
∴sinC-

3

sinB=0，
∴sinC=

3

sinB，
根据正弦定理，得
c=

3

b，
由余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA，
∴1=b²+3b²-2b×

3

b×

3

2

，
∴b=1，c=

3

．

点评：本题重点考查三角公式、三角恒等变换公式、正弦定理和余弦定理等知识，属于中档题．