Question

如图，椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）椭圆的方程为 ． （Ⅱ）实数取值范围为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点．

所以椭圆的方程为：．

解方程组 得C（1，2），D（1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，

∴，， ∴ ．       2分

因此，，解得并推得．

故椭圆的方程为 ．                  4分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.

设：，，，，

由得.

，.  6分

，.

∵＜，∴，

∴∴，

∴，∴.∴，  8分

∵，∴，

，.

∵点在椭圆上，∴，

∴∴，  10分

∴或，

∴实数取值范围为.  12分

考点：本题主要考椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，抛物线的几何性质，直线椭圆的位置关系，平面向量的线性运算。

点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了抛物线及椭圆的几何性质，建立a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）结合向量的坐标运算，确定得到t的函数式，通过确定函数的值域，达到确定实数取值范围的目的。利用函数思想解题，是一道好例。