Question

如图，已知：ABCD是矩形，AB=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的大小；
（3）求异面直线PB与AC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由ABCD是矩形，AB=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3，能求出V_P-ABCD．
（2）PD⊥ABCD，连接BD，则∠PBD的大小等于直线PB与平面ABCD所成角的大小．
（3）作BE∥AC，交DC延长线于E，则∠PBE就是异面直线PB与AC所成角（或补角），由PB=

14

，BE=

5

，PE=

13

，能求出异面直线PB与AC所成角的大小．

解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
B=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3，
∴V_P-ABCD=

1

3

×1 ×2×3=2．…（3分）
（2）PD⊥ABCD，
连接BD，
则∠PBD的大小等于直线PB与平面ABCD所成角的大小；…（5分）
tan∠PBD=

3 5

5

，
所以，所求角的大小为：arctan

3 5

5

．…（8分）
（3）作BE∥AC，交DC延长线于E，
则∠PBE就是异面直线PB与AC所成角（或补角）…（10分）
由PB=

14

，BE=

5

，PE=

13

得：cos∠PBE=

3 70

70

，
所以，异面直线PB与AC所成角的大小为：arccos

3 70

70

；…（15分）

点评：本题考查三棱锥体积的求法和异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．