Question

如图，已知圆上的弧

AC

=

BD

，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（1）∠ACE=∠BCD；
（2）

BC2

EC2

=

CD

EA

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）先根据题中条件：“

AC

=

BD

，”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．
（II）证明△BDC～△ECB，可得BC²=BE×CD．由切割线定理可得EC²=EA×EB，两式相除可得结论．

解答： 解：（1）因为

AC

=

BD

，所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（2）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故

BC

BE

=

CD

BC

．
即BC²=BE×CD．
由切割线定理可得EC²=EA×EB，
两式相除可得

BC2

EC2

=

CD

EA

．（10分）

点评：本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．