Question

已知函数f（x）=x²-2alnx（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）在区间（0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调，其导函数大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即a≤0，又a≠0，从而得出实数a的取值范围．
（2）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在（0，2]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

解答：解：（1）f′（x）=2x-2×

a

x

=

2(x2-a)

x

，
若函数f（x）是定义域（0，+∞）上的单调函数，
则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x²-a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
即只要a≤0，又a≠0，
实数a的取值范围（-∞，0）．
（2）当a＞0时，f′（x）=

2(x2-a)

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

，
函数f（x）在区间（0，

a

）上为减函数，在区间（

a

，+∞）上为增函数．
（i）当

a

＜2时，即0＜a＜4时，函数在（0，

a

）上递减，[

a

，2]上递增，
所以当x=

a

时f（x）有最小值，并且最小值为a-alna；
（ii）当

a

≥2即a≥4时，函数在（0，2]上递减，
所以当x=2时f（x）有最小值，并且最小值为4-2aln2．
综上，当0＜a＜4时，f（x）在区间（0，2]上的最小值为a-alna；
当a≥4时，f（x）在区间（0，2]上的最小值为4-2aln2．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．