Question

已知函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并作出函数y=f（x）的图象；
（2）写出f（x）的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？（不必证明）
（3）求函数的值域．

Answer 1

分析：（1）首先判断函数f（x）的定义域是对称的，再根据偶函数的定义验证f（-x）与f（x）的关系，再进行描点画图；
（2）根据（1）画出的图象，可以求出函数f（x）的单调区间；
（3）分两种情况：x≥0和x＜0，结合函数的增减性，可以求出其值域；

解答：（1）证明  f（-x）=（-x）2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f（x），
即f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
当x≥0时，f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，
当x＜0时，f（x）=x2+2x-1=（x+1）2-2，
即f（x）=

(x-1)2-2         (0≤x≤3) (x+1)2-2        (-3≤x＜0)

，
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示．
（2）解：函数f（x）的单调区间为[-3，-1），[-1，0），[0，1），[1，3]．
f（x）在区间[-3，-1）和[0，1）上为减函数，在[-1，0），[1，3]上为增函数．（9分）
（3）解：当x≥0时，函数f（x）=（x-1）2-2的最小值为-2，最大值为f（3）=2；
当x＜0时，函数f（x）=（x+1）2-2的最小值为-2，最大值为f（-3）=2；
故函数f（x）的值域为[-2，2]．（12分）

点评：此题主要考查二次函数的性质及其图象的画法，题有三问，看似比较复杂，只要画出函数f（x）的图象后就会比较容易求解了；