Question

4．已知直线l：y=$\sqrt{3}$x+4，动圆O：x²+y²=r²（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，6$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 设AB=a，直线CD的方程为y=$\sqrt{3}$x+b，则圆心到直线的距离为d=$\frac{\left|b\right|}{2}$＜r，进而可得b的范围，结合$\frac{|b-4|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，可得a的范围，再由菱形ABCD的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，得到答案．

解答 解：设AB=a，直线CD的方程为y=$\sqrt{3}$x+b，
则圆心到直线的距离为d=$\frac{\left|b\right|}{2}$＜r，
又由1＜r＜2，
∴-2＜b＜4，且b≠1
∵$\frac{|b-4|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴b=4-$\sqrt{3}$a，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4-b）
∴0＜a＜$\sqrt{3}$，或$\sqrt{3}$＜a＜2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²∈（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，6$\sqrt{3}$），
故答案为：（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，6$\sqrt{3}$）

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，本题转化比较困难，参数的范围抽象不易理解，属于难题．