Question

（2011•焦作一模）渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在位于A处的渔政船甲的南偏东40°方向，距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处．两艘渔政船协调后，立即让渔政船甲沿直线AC航行前去渔船丙所在的位置C处救援，渔政船乙仍留在B处执行任务．渔政船甲航行30km到达D处时，收到新的指令必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙（渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙），此时B，D两处相距42km，问渔政船乙要航行多少km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？

Answer 1

分析：根据题意△ABD中，AD=30、BD=42且∠BAD=60°，运用余弦定理算出AB=48km，进而求出cos∠ADB=

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7

，结合诱导公式求出cos∠BDC=-cos∠ADB=-

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7

．最后在△BCD中，利用余弦定理求出BC之长，即可得到渔政船乙到达渔船丙所在的位置C处实施营救所要航行的路程．

解答：解：根据题意，得
△ABD中，AD=30km，BD=42km且∠BAD=40°+20°=60°
∴由余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos60°
即42²=AB²+30²-30AB，整理得AB²-30AB-864=0，
解之得AB=48km（舍负）
因此，cos∠ADB=

AD2+BD2-AB2

2×AD×BD

=

302+422-482

2×30×42

=

1

7

∴cos∠BDC=-cos∠ADB=-

1

7

△BCD中，BD=42km，CD=70-30=40km
∴BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos∠BDC=42²+40²-2×42×40×（-

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）=3844（km²）
因此BC=

3844

=62（km）
答：渔政船乙要航行62km，才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．

点评：本题以海上轮船的营救为例，求渔政船乙到达渔船丙所在的位置C处实施营救所要航行的路程．着重考查了诱导公式和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．