Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．
设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极值

Answer 1

解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
∴f′（x）=x+2a，g′（x）=，
由题意f（x₀）=g（x₀），
f′（x₀）=g′（x₀）即，
由x₀+2a=得：x₀²+2ax₀﹣3a²=0，
即（x﹣a）（x+3a）=0，解得x₀=a或x₀=﹣3a（舍去）．
即有b=a²+2a²﹣3a²lna=a²﹣3a²lna，
令h（t）=t²﹣3t²lnt（t＞0），
则h′（t）=5t﹣6tlnt﹣3t=2t（1﹣3lnt），
于是当t（1﹣3lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；
当t（1﹣3lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0，
故h（t）在（0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，
则h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=﹣3ln=；
（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=，
则F′（x）=x+2a﹣=（x＞0）．
故F（x）在（0，∞）为减函数，在（a，+∞）为增函数，
于是函数F（X）在x=a时有极小值F（a），
F（X₀）=f（x₀）﹣g（x₀）=0无极大值．