Question

16．已知p：?x∈（0，+∞），x²+1≥-mx恒成立，q：方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2m+8}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，若命题“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若p为真，便可根据命题p得到$m≥-（x+\frac{1}{x}）$，而由基本不等式即可求出函数-（x+$\frac{1}{x}$）在（0，+∞）上的最大值为-2，从而得到m≥-2；而若q为真，由椭圆的标准方程即可求出m的范围．而根据p且q为假知道该命题的对立面为p且q为真，从而求出p且q为真时的m的取值范围，再对该范围求在R上的补集即得实数m的取值范围．

解答 解：由题意：若p为真，则有$m≥-（x+\frac{1}{x}）$对x∈（0，+∞）恒成立；
$x+\frac{1}{x}≥2$，当x=1时取“=”；
∴$-（x+\frac{1}{x}）≤-2$；
∴m≥-2；
若q为真，则有m²＞2m+8＞0，即-4＜m＜-2或m＞4；
由p且q为假，则p，q中至少一个为假
而若p，q均为真，则m＞4；
∴p且q为假，实数m的取值范围是（-∞，4]．

点评 考查基本不等式：a+b$≥2\sqrt{ab}$，a，b＞0的应用，椭圆的标准方程，并注意椭圆的焦点在x轴上的标准方程的特点，清楚p且q的真假和p，q真假的关系，注意本题不直接去求p且q为假时m的范围，而去求p且q为真时的m的范围的方法．