【题目】已知.
(1)当时,求证:;
(2)若有三个零点时,求的范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】分析:(1)令,,,利用导数可得在上单调递减,,从而可得结论; (2)有三个零点等价于有三个零点,当时,当时,可得是单调函数,至多有一个零点,不符合题意,当时,利用导数研究函数的单调性,根据单调性,结合函数图象可得的范围是.
详解:(1)证明:,
令,,,
,
在上单调递减,,
所以原命题成立.
(2)由 有三个零点可得
有三个零点,
,
①当时,恒成立,可得至多有一个零点,不符合题意;
②当时,恒成立,可得至多有一个零点,不符合题意;
③当时,记得两个零点为,,不妨设,且,
时,;时,;时,
观察可得,且,
当时,;单调递增,
所以有,即,
时,,单调递减,
时,单调递减,
由(1)知,,且,所以在上有一个零点,
由,且,所以在上有一个零点,
综上可知有三个零点,
即有三个零点,
所求的范围是.
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【题目】如图,直角坐标系中,圆的方程为,,,为圆上三个定点,某同学从点开始,用掷骰子的方法移动棋子.规定:①每掷一次骰子,把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点;②棋子移动的方向由掷骰子决定,若掷出骰子的点数为偶数,则按图中箭头方向移动;若掷出骰子的点数为奇数,则按图中箭头相反的方向移动.设掷骰子次时,棋子移动到,,处的概率分别为,,.例如:掷骰子一次时,棋子移动到,,处的概率分别为,,.
(1)分别掷骰子二次,三次时,求棋子分别移动到,,处的概率;
(2)掷骰子次时,若以轴非负半轴为始边,以射线,,为终边的角的余弦值记为随机变量,求的分布列和数学期望;
(3)记,,,其中.证明:数列是等比数列,并求.
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【题目】数列是等比数列,公比大于0,前项和,是等差数列,已知,,,.
(Ⅰ)求数列,的通项公式,;
(Ⅱ)设的前项和为
(ⅰ)求;
(ⅱ)若,记,求的取值范围.
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【题目】2021年起,我省将实行“3+1+2”高考模式,某中学为了解本校学生的选考情况,随机调查了100位学生,其中选考化学或生物的学生共有70位,选考化学的学生共有40位,选考化学且选考生物的学生共有20位.若该校共有1500位学生,则该校选考生物的学生人数的估计值为( )
A.300B.450C.600D.750
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【题目】已知点在椭圆: 上, 是椭圆的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)椭圆C上不与点重合的两点, 关于原点O对称,直线, 分别交轴于, 两点.求证:以为直径的圆被直线截得的弦长是定值.
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【题目】为了更好地支持“中小型企业”的发展,某市决定对部分企业的税收进行适当的减免,某机构调查了当地的中小型企业年收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图,下面三个结论:
①样本数据落在区间的频率为0.45;
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策,估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策;
③样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是( )
A.甲的数据分析素养高于乙
B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C.乙的六大素养中逻辑推理最差
D.乙的六大素养整体平均水平优于甲
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【题目】如图,四边形ABCD是边长为4的菱形,∠BAD=60°,对角线AC与BD相交于点O,四边形ACFE为梯形,EF//AC,点E在平面ABCD上的射影为OA的中点,AE与平面ABCD所成角为45°.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACF;
(Ⅱ)求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值.
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