【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若方程存在两个不同的实数根
,
,证明:
.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)先求得函数的定义域为,由
及对
取值的讨论可得当
时,
在区间
上单调递增;当
时,
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.(2)设
,
,可得
,
。故原不等式可化为证
,等价于
。在此基础上,令
,转化为证
成立,构造函数
,通过单调性可得不等式成立。
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
∵
∴.
①当时,
,故
在区间
上单调递增.
②当时,
则当时,
,
上单调递增;
当时,
,
上单调递减。
综上,当时,
在区间
上单调递增;
当时,
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
(2)由方程存在两个不同的实数根
,
,可设
,
∵,
,
∴,
∴.
要证,只需证
,等价于
,
设,则上式转化为
,
设,
则,
∴在
上单调递增,
∴,
∴,
∴.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,短轴长为
,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点
与
轴不垂直的直线交椭圆于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)当直线的斜率为
时,求
的面积.
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得经
,
为领边的平行四边形是菱形?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴,焦距为2,且长轴长是短轴长的倍.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设P(2,0),过椭圆E左焦点F的直线l交E于A、B两点,若对满足条件的任意直线l,不等式 ≤λ(λ∈R)恒成立,求λ的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线的方程为
(
,
为常数).
(1)判断曲线的形状;
(2)设曲线分别与
轴,
轴交于点
,
(
,
不同于原点
),试判断
的面积
是否为定值?并证明你的判断;
(3)设直线:
与曲线
交于不同的两点
,
,且
,求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆
过点
,离心率为
,
,
是椭圆
的长轴的两个端点(
位于
右侧),
是椭圆在
轴正半轴上的顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在经过点且斜率为
的直线
与椭圆
交于不同两点
和
,使得向量
与
共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com